第360回 第181回〜第360回を振り返る

Web連載「数学ガールの秘密ノート」は新しいサイトに引っ越しします!

約10年継続したcakes連載も今回が最終回。今回は第181回〜第360回をみんなで振り返りましょう。

作者からの大切なお知らせ

結城浩です。いつも「数学ガール」の応援ありがとうございます。

このたび、Web連載を掲載していたcakesさんがサービスをクローズすることになりました。 そのため、 2022年9月1日以降、 cakesで公開されているWeb連載「数学ガールの秘密ノート」にはアクセスできなくなります。 ご了承ください。

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登場人物紹介

:数学が好きな高校生。

ユーリのいとこの中学生。 のことを《お兄ちゃん》と呼ぶ。 論理的な話は好きだが飽きっぽい。

テトラちゃんの後輩。 好奇心旺盛で根気強い《元気少女》。言葉が大好き。

ミルカさん:数学が好きな高校生。 のクラスメート。長い黒髪の《饒舌才媛》。

リサ:自在にプログラミングを行う無口な女子。赤い髪の《コンピュータ少女》。

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第181回〜第190回「いにしえの数学」(2017年)

僕たちは、 思い出深い話題や、印象に残った問題を振り返っている(第359回参照)。

テトラ「第181回〜第190回は「いにしえの数学」のシーズンでした。双倉図書館でのイベントで、古代エジプト、古代バビロニア、古代ギリシア、そして古代中国の数学についての展示物をまわりました」

ユーリ「パネル展示がたくさんあったんだよね。このクイズがおもしろかった!」

クイズ第184回参照)

これはバビロニア人が計算で利用した数表の一部です。 いったい何の数表でしょうか。

「ユーリが即答したクイズだね。これは考えてわかるおもしろい問題だった」

第191回〜第200回「整数に誘われて」(2017年)

ミルカ「第191回〜第200回は「整数に誘われて」のシーズン。倍数、約数、最小公倍数、最大公約数、ユークリッドの互除法、素数判定などの話題が出た」

「やさしいけれど印象に残った問題はこれだよ。二人に見つめられた状態でこの問題を考えるのは、正直緊張したなあ」

問題第195回参照)

このアルゴリズムは正しく最大公約数を計算するか。

入力

  • 正の整数$m, n$
出力
  • $m$と$n$の最大公約数
手続き

テトラ「これはリサちゃ……リサが出してくれた問題ですね」

リサ「(頷く)」

「問題に対しては正しく答えられたけど、その後の僕の証明……というか説明に《穴》があった。だから印象に残ってる」

ミルカ「二人に見つめられていたからではなく?」

第201回〜第210回「関数を手がかりに」(2017年)

ユーリ「第201回〜第210回は「関数を手がかりに」のシーズンで、関数とかー、対応とかー、関数の最大値・最小値とかー……」

「地味だけど気に入ってるのはこのクイズかな」

クイズ第202回参照)

集合$A$を$A = \{ 0, 1, 2, 3 \}$とする。

集合$N$を$N = \{ 0, 1, 2, 3, \ldots \}$とする。

$$ \begin{array}{|c|cccc|} \hline A & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline N & 123 & 58 & 3028 & 7 \\ \hline \end{array} $$ この表は集合$A$から集合$N$への関数といえるか。

ユーリ「あーこれね。不安を誘うよねー」

「いやいや、関数の《定義にかえれ》で考えればわかるよ」

第211回〜第220回「無限を探そう」(2017年〜2018年)

テトラ「第211回〜第220回は「無限を探そう」のシーズンです。無限大のお話、無限小数のお話、数学的帰納法のお話、アキレスと亀のお話、極限値のお話など盛りだくさんでした」

ユーリ「ユーリは無限ポテチが食べたかったにゃあ(第211回参照)」

(※イラストは「いらすとや」さんから)

「すごい勢いで食べてたからなあ」

テトラ「あたしは、極限値の和の問題が印象深かったです」

問題(極限値の和)(第218回参照)

二つの数列$\LL p_n \RR$と$\LL q_n \RR$は、 $$ \begin{array}{lll} n \to \infty & \text{で} & p_n \to 0 \\ n \to \infty & \text{で} & q_n \to 0 \\ \end{array} $$ とする。

ここで、数列$\LL r_n \RR$の一般項を、 $$ r_n = p_n + q_n $$ で定義する。

このとき、 $$ \begin{array}{lll} n \to \infty & \text{で} & r_n \to 0 \end{array} $$ を証明せよ。

ミルカ「なるほど」

ユーリ「$p_n,q_n$がゼロになるんだから、足してもゼロになるのは当たり前では?」

テトラ「あたしも、最初はユーリちゃんと同じように考えました。でもそれはとても大ざっぱな考え方でした。当たり前といえば当たり前なんですけど、 『どうして当たり前かをきちんと説明できること』が大事なんです」

ユーリ「できるの?」

テトラ「はい。極限の定義がわかっていると、『何をいえば証明したことになるか』がわかります。 そこがスタート地点ですね」

第221回〜第230回「関数を組み立てよう」(2018年)

「第221回〜第230回は「関数を組み立てよう」のシーズン。微分可能・微分不可能、平均値の定理、ロルの定理、そしてはるばるデデキントの切断、テイラー展開など」

テトラ「あたしは何と言っても、平均値の定理からの壮大な旅が思い出深かったです!」

「実数の公理までさかのぼっていった。あれはすごかったなあ」

ミルカ「楽しかった」

ユーリ「どんなのですか、ミルカさま?」

ミルカ「出発点は平均値の定理の証明から」

平均値の定理第223回参照)

二つの実数$a,b$は、$a < b$を満たすとする。

関数$f(x)$は、$a \LEQ x \LEQ b$で連続とする。

さらに関数$f(x)$は、$a < x < b$で微分可能とする。

このとき、 $$ \frac{f(b) - f(a)}{b - a} = f'(c) $$ を満たす実数$c$が、$a$と$b$のあいだに存在する($a < c < b$)。

ユーリ「平均値の定理……」

第231回〜第240回「群とシンメトリー」(2018年)

ミルカ「第231回〜第240回は「群とシンメトリー」のシーズン。サイコロの置き方を皮切りに正六面体群を詳しく調べていく。そのほかに巡回群、剰余群、部分群とラグランジュの定理、そして群の作用まで」

ユーリ「24通りのサイコロの置き方を、いろいろ考えたよ!」

サイコロの置き方$24$通りと、机に接している頂点の名前第232回参照)

テトラ「サイコロの置き方が《群》につながっていくのは驚きでした」

ミルカ「対称性があるところに《群》は顔を出す」

第241回〜第250回「学ぶための対話」(2018年〜2019年)

「第241回〜第250回は、いよいよ「学ぶための対話」のシーズンだね」

ユーリ「ノナ! ノナ! 出番だよー!」

ノナ「え、あ……こんにちは$\NONA$」

登場人物紹介(追加)

ノナユーリの同級生。 ベレー帽をかぶってて、丸い眼鏡を掛けていて、ひとふさだけの銀髪メッシュ。 数学は苦手だけど、興味を持ってる中学生。

「こんにちは。お久しぶり。ノナちゃんの、思い出深い話題があったら紹介してくれる?」

ノナ「話題って……どんな話題ですか$\NONAQ$」

ユーリ「何でもいーんだよん。問題でも、クイズでも。ほれほれ、あるじゃん。アレとかコレとか」

ノナ「mgn$\NONAQ$」

「はい?」

ノナ「無限……《無限のキャンバス》$\NONA$」

「ああ、座標平面が《無限のキャンバス》になっているという話だね(第241回参照)。どれほど遠いところにも点を描くことができる」

ノナ「どんな紙よりも広くて……どこまでもどこまでも広がってます$\NONA$」

テトラ「座標平面に描かれる直線と式の関係や、一次方程式の話や、そして何より《理解する》ということについて。 ノナちゃんと、先輩と、ユーリちゃんの《学ぶための対話》ですね!」

第251回〜第260回「確率の冒険」(2019年)

テトラ「第251回〜第260回は「確率の冒険」のシーズンでした。確率の基本から、条件付き確率、そして歴史的なメレの問題までが話題になりました。 あ、あたしは何と言っても偽陽性・偽陰性の問題が印象深かったですね……」

ユーリ「ユーリは、相対度数と確率かにゃあ……」

テトラ「と言うのは?」

ユーリ「コインをM回投げて表がm回出たときのm/Mだけど、これは確率じゃなくて、相対度数だって話(第252回参照)。 お兄ちゃんから言われてほほー……ってなった」

「相対度数と確率は式は似ているけど、意味はまったく違うからね」

第261回〜第270回「分数を極める」(2019年)

ミルカ「第261回〜第270回は「分数を極める」のシーズンだ。フィボナッチ数列、黄金比、連分数、表記と値、表現と意味……といったところか」

テトラ「黄金比を求めるための二次方程式が、連分数の形にぴったり当てはまるというのは感動しました」

黄金比$\phi$と連分数第265回参照)

「黄金比はフィボナッチ数列とも関連していたね(第261回参照)」

ミルカ「どこにも出てくるフィボナッチ」

リサ「好き」

第271回〜第280回「放物線をつかまえて」(2019年)

テトラ「第271回〜第280回は「放物線をつかまえて」のシーズンです」

「これはいろいろ楽しかったなあ」

ユーリ「モンキーハンティング、すごかった。ユーリ、一発で当てたよね!」

問題第279回参照)

原点から水平方向に$X$だけ離れたところに木がある。

高さ$Y$のところにリンゴがなっている。

リンゴの《質量》を$m$とする。

原点から、木のほうに向かってボールを投げる。

ボールを投げた瞬間の《速度》の大きさを$V$とする。

ボールを投げる向きは、角度を$\theta$とする。

ボールを投げる瞬間の《時刻》を$t = 0$とする。

ボールの《質量》を$M$とする。

ボールを投げた瞬間に、リンゴが木から落ちるとする。

落ちていくリンゴにボールを当てるためには、$V$と$\theta$をどうしたらいいか。

重力加速度は$-g$とする。

「《選ばれしもの》なるユーリの慧眼がすべてを見抜いたんだな」

ユーリ「何そのファンタジー」

テトラ「このシーズンは初の物理ノートとなりました!等速度運動、等加速度運動、ニュートンの運動方程式、万有引力の法則、運動エネルギーと位置エネルギー、力学的エネルギー保存則、そしてケプラーの法則まで!」

第281回〜第290回「音楽と数学」(2020年)

ミルカ「第281回〜第290回は「音楽と数学」のシーズン。音が波であること、ピタゴラス音階、平均律、ピタゴラスコンマ、純正律、そしてオイラー格子の登場となる」

純正律とピタゴラス音律によるハ長調($C$ major)の音階比較($C$を$1$としたときの周波数比) (第288回参照)

ユーリ「音階の話や、対数の話もおもしろかったけど、いっちばんカッコよかったのはファレイ数列かにゃあ」

ファレイ数列の構成第287回参照)

第291回〜第300回「グラフ理論」(2020年)

「第291回〜第300回は「グラフ理論」のシーズンで、たくさんのゲームやパズルを解いたね。 連結ゲーム、未来都市通信網パズル、施設の機材管理パズル、あとは……」

ミルカ「五色問題」

テトラ「《直線国境諸国巡遊偶数回横断問題》もありましたよっ!」

「あったね……」

ユーリ「《連結ゲーム》では、例によって、お兄ちゃんがリフジンなルールで、いたいけなユーリを、いじめたんだよにゃあ! テトラさん、言ってやって言ってやって!」

テトラ「どんなルールなんですか?」

「《連結ゲーム》はこんなルール。そしてユーリは必勝法に気づいたんだよ」

《連結ゲーム》のルール第291回参照)

プレイヤーは二人。 紙に$1$個以上の頂点を描き、交互に二頂点を結ぶを描く。 先に描けなくなったプレイヤーが負けである。

辺を描くときのルールが三つある。

ルール1:辺は多重にしない

ルール2:ループを作らない

ルール3:サイクルを作らない

テトラ「必勝法……?」

ユーリ「あのね、点の個数でね……」

第301回〜第310回「読むための対話」(2020年)

ノナ「あの……第301回から第310回まではノナが出ました$\NONA$」

ユーリ読むための対話シーズン……ってサブタイトルだったんだ」

「本では『図形の証明』になっていたね。三角形の合同を中心に、証明というものについておしゃべりしたけど、ノナちゃんはどうだった?」

ノナ「理由……理由が大事です$\NONA$」

ユーリ「証明は、理由が伝わるように書くってことっしょ?」

ノナ「あいまいはだめ……あいまいになってはだめです$\NONA$」

「そうそう。合同条件でも出てきたね。二つの三角形があって、 『二組の辺の長さがそれぞれ等しくて、その辺ではさまれている一組の角の大きさが等しい』という合同条件。 《二つの辺》と《一つの角》とだけ言ってしまうと、その角がどこの角かわからなくなってしまう」

二辺夾角相等ならば合同

二組の辺の長さがそれぞれ等しくて、その辺ではさまれている一組の角の大きさが等しいならば、 その二つの三角形は合同である。

ただの《角》といってしまうと、どこの角のことかはっきり決まらない

ノナ「あいまいです$\NONA$」

「そう、そうなんだ。証明は、あいまいにならないように、はっきりと伝わるように書く」

テトラ「三角形の合同条件、三角形の分類、平行線の錯角と同位角などの話題で、定義がとても大切な理由、 証明をする目的、 証明はどんなふうに書くのか、 そして未知の問題に出会ったときにどのように考えていくのか。 ノナちゃんが中心になった数学対話です!」

第311回〜第320回「ふれあう三角関数」(2021年)

ユーリ「第311回〜第320回は「ふれあう三角関数」のシーズンだったけど、どこが《ふれあう》なんだろ」

ミルカ「タンジェント$\tan$がテーマだからだろうな」

ユーリ「タンジェント……?」

テトラ「tangentはもともと《接している》や《接触している》という意味ですね」

ユーリ「それで《ふれあう》なんだー」

テトラ「ユーリちゃんは$\tan$もこなしちゃうんですね。すごいです」

ユーリ「へへー……でも簡単だったよ。円を描けばすぐにわかるもん! これが$\tan$の定義でしょ?(第311回参照)」

$$ \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} $$

テトラ「はい、そうですね」

ユーリ「そしたら、この点Qの$y$座標が$\tan\theta$になるよね。分母が1だから」

「相似だからね。それで、木の高さは$y = L\tan\theta$で求められる」

テトラ「あとは$\tan$の加法定理を求めたり、それから複素数の楽しい計算も出てきましたね……」

第321回〜第330回「楽しいアルゴリズム」(2021年)

「第321回〜第330回は「楽しいアルゴリズム」のシーズンで、テトラ先生の講義だったね。僕がたくさん教わったんだ」

リサ「リンクとストラクチャ?」

テトラ「そうです、そうです。双倉図書館であたしが学んだことを、僭越ながら先輩にお伝えしたのでした」

「盛りだくさんだったよ。リストを作ったり、最大値を求めたり、スタックやキューなどのデータ構造を学んだり、二分探索木に、それから……」

リサ「トリープ」

テトラ「印象に残ったこと、何かありますでしょうか」

「しょっぱなから、大きな誤りを見逃したことかなあ。MAX-VALUEを求めるアルゴリズム」

最大値を求めるMAX-VALUE(大きな誤りあり)第321回参照)

テトラ「あたしもまちがえたものですね」

「うーん……それから、テトラちゃんに教えてもらいながら、僕は馬鹿だなあと思うことはよくあったよ」

テトラ「えっ?」

「テトラちゃんがさんざん《図を描いて考えて》といってるのに、リンクを付け替えるプログラムを考えるときにも図を描かなかったからね……たとえばテトラちゃんは、こういう図をちゃんと描いているのに(第323回参照)」

テトラ「……」

「僕は、手を動かさずに頭の中だけで考えようとする大馬鹿者だなあって」

テトラ「そ、そんなことおっしゃらないでくださいっ!」

ユーリ「(お兄ちゃんの自虐モード、めずらしー……)」

ミルカ「(そうでもない)」

第331回〜第340回「電気」(2021年)

ミルカ「第331回〜第340回は「電気」のシーズン。電池の直列つなぎに並列つなぎ、オームの法則、電流、電圧、クーロンの法則、電気力線、キルヒホッフの法則、電場と位置エネルギー」

電流と電圧第332回参照)

ユーリ「印象に残った話、ユーリが言ってもいい?」

テトラ「もちろん、どうぞ」

ユーリ「あのね。100億個のビーチボールの話!(第332回参照)」

テトラ「100億個のビーチボール……?」

「豆電球を点灯させる回路で流れている自由電子の個数の話をしていたんだ」

ユーリ「そーそー!」

テトラ「100億個もあるんですか!」

ユーリ「テトラさん、ちがうの。100億個×100億個」

テトラ「えっ?」

「10の20乗くらいのオーダーじゃないかなって、ユーリに話したんだよ。10の20乗ってわかりにくいから、地球をこんなふうにビーチボールみたいなものだと考える」

テトラ「はい」

「世界にいる100億人全員がビーチボールみたいな大きさの地球を抱えているとする」

ユーリ「じゃじゃーん! 100億個のビーチボール!」

「100億個のビーチボールの上には、100億人の《小さな人》が住んでいると考えると……《小さな人》の数はぜんぶで100億×100億になる。それで$10^{20}$のオーダーになるという話」

テトラ「すごいですね……!」

第341回〜第350回「熱力学」(2021年〜2022年)

ミルカ「第341回〜第350回は「熱力学」のシーズン。アルキメデスの原理、アボガドロの法則、ボイルの法則、シャルルの法則、理想気体の状態方程式、 熱力学の第一法則と第二法則、ケルビンの原理、カルノーサイクル」

テトラ「あたしの最大衝撃はでした!」

「そうなんだ」

テトラ「ボイル=シャルルの法則や気体分子運動論などでたくさんの物理量が出てきました。速度・運動量・力積・運動エネルギー・圧力・体積・物質量・温度……でも、 肝心かなめの《熱》が出てきてないことに気づいていませんでした。 あれはショックでした」

「熱はわかっているつもりになっちゃうから、かえって難しいよね」

ユーリ「ユーリはねー、浮力の話がびっくりだった。《軽い木の人形》と《重い鉄の人形》で浮力が同じ!」

体積が等しい人形の浮力第341回参照)

※人形のイラストは「いらすとや」さんのイラストをもとに加工しています。

テトラ「確かにそうですね。アルキメデスの原理です」

第351回〜第360回「不可能問題への挑戦」(2022年)

「そして、第351回〜第360回は「不可能問題への挑戦」のシーズンだったね。多角形と面積が等しい正方形を作ること、円積問題、立方体倍積問題……最後の第359回と第360回は《みんなで振り返る会》になった」

ユーリ「うんうん」

「立方体倍積問題は解けないことがわかってるけれど、《定規とコンパスを有限回使う》という条件を外すとおもしろい世界が広がってた」

立方体倍積問題第355回参照)

定規とコンパスを有限回だけ使って、 与えられた立方体の二倍の体積を持つ立方体を作図してください。

ユーリ「やっぱり、なんつってもアルキュタスの解法がサイコー!」

「立体の交点だね」

アルキュタスの解法第358回参照)

二つの比例中項を求めるアルキュタスの作図は、三次元的に行われる。

三つの立体面の交点として求める点を作図するからである。

三つの立体面とは、

  • トーラス
  • 円柱の側面
  • 円錐面

である。

ユーリ「先を読まない《予言者読み》と、一歩一歩読んでく《探険者読み》が楽しかった!」

瑞谷先生「下校時間です」

登場人物紹介(追加)

瑞谷先生:司書の先生。定時になると下校時間を宣言する。


ノナ「あ$\NONA$」

ユーリ「わーん! 終わっちゃったよー!」

テトラ「そうですね……」

「でも、僕たちの《数学トーク》が終わったわけじゃないよ」

ミルカ「そうだ。これからも、ずっと続く」

リサ「コンティニュー」


「はい、お疲れさま。じゃ、みんなでお茶にしましょう!」

登場人物紹介(追加)

:「僕」の母。


(第360回終わり。これで約10年に渡って続いたcakesでの連載は終了になります。応援ありがとうございました!)

(Web連載「数学ガールの秘密ノート」は終わりません。今後の更新はメールにて通知いたします。以下でメールアドレスのご登録をお忘れなく!)

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この連載について

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数学ガールの秘密ノート

結城浩

数学青春物語「数学ガール」の中高生たちが数学トークをする楽しい読み物です。中学生や高校生の数学を題材に、 数学のおもしろさと学ぶよろこびを味わいましょう。本シリーズはすでに14巻以上も書籍化されている大人気連載です。 (毎週金曜日更新)

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コメント

takacha_hby 読みました😊 瑞谷先生は読者へのお約束ですね。 次がどんな形かはわかりませんが、また会えるときが楽しみです。 2ヶ月前 replyretweetfavorite

Lsdu2DalePerry こうして振り返ると、まだ書籍化されていないコンテンツもあるんだな。でも360回って実は凄いぞ!!! 2ヶ月前 replyretweetfavorite

rashita2 (いったん)お疲れさまでした。それにしても360回の連載というのはすごいですね→ 2ヶ月前 replyretweetfavorite

spiegel_2007 cakes 連載版「数学ガールの秘密ノート 」最終回。ちょうど360回で一周しているw 「現在結城は、このWeb連載「数学ガールの秘密ノート」の「お引っ越し」を計画していますが、詳細は未定です」とのこと https://t.co/L9mTe36I0k 2ヶ月前 replyretweetfavorite