第315回 ふれあう三角関数:タンジェントはお友達(前編)

テトラちゃんと「僕」の《三角関数トーク》が始まりました。「ふれあう三角関数」シーズン、何が見つかるかな?

結城浩『再発見の発想法』2021年2月刊行!

再発見の発想法

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登場人物紹介

:数学が好きな高校生。

テトラちゃんの後輩。 好奇心旺盛で根気強い《元気少女》。言葉が大好き。

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図書室にて

いまは放課後。ここは高校の図書室。

は書架のあいだを歩きながら本の背表紙を眺めていた。と、後輩のテトラちゃんがひょいと顔を出す。

テトラ「せーんぱいっ!」

「ああ、テトラちゃん」

テトラ「先輩、クイズです。すぐに答えてくださいね」

「いきなりのテトラクイズだね。どういう問題?」

テトラ「$\cos(\theta + \pi/4)$を求めてくださいっ!」

「ええと、求めるっていうのは?」

テトラ「あっと、失礼しました」

テトラクイズ

$\cos\theta\text{と}\sin\theta$を使って、 $$ \cos\PS{\theta+\frac{\pi}{4}} $$

を表してください。

「なるほど。うん、これは加法定理を使えば一発だよね。あっちの机で書いてもいい?」

テトラ「先輩、せんぱい。暗算してくださいよう! あ・ん・ざ・ん!」

暗算? そういうチャレンジなのね、はいはい、ええと……」

は、加法定理の式を思い浮かべる。

「……うん、$1/\sqrt2$でくくれば、こうだね。くくらなくてもいいけど」

テトラクイズへの答え

$$ \cos\PS{\theta + \frac{\pi}{4}} = \frac{1}{\sqrt2}\PS{\cos\theta - \sin\theta} $$

テトラ「やっぱりサッとできちゃうんですね……」

「まあこのくらいはできるよ。基本的な三角関数トレーニングはしてるからね(『数学ガール/ポアンカレ予想』第9章参照)」

テトラ「あたしも最近、三角関数の公式を練習していますが、難しいですよね。先輩はこの$\cos(\theta + \pi/4)$はどういうふうに計算したんですか?」

「いや、ふつうに加法定理を使っただけだよ。$\cos(\alpha + \beta)$はこうなるよね。これは覚えている」

$$ \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta $$

テトラ「はい」

「それから、有名角の三角関数の値も覚えている。この場合は$\pi/4$つまり45度のコサインとサイン」

$$ \left\{ \begin{align*} \cos\frac\pi4 = \frac1{\sqrt2} \\ \sin\frac\pi4 = \frac1{\sqrt2} \end{align*} \right. $$

テトラ「はいはい、そうですね。それもサッと出るんですか……」

「うん。もちろん覚えているんだけど、単位円周上の点が45度にあるところを想像すれば、 $\cos\pi/4 = \sin\pi/4 = 1/\sqrt2$になるのは軽くチェックできる。 一つの角度が45度になる直角三角形は直角二等辺三角形ということで、 対角線の長さが1になっている正方形の一辺の長さになるからね」

一つの角度が$\pi/4$の直角三角形は直角二等辺三角形になる

テトラ「確かにそうですね。三平方の定理で、$$ \PS{\frac{1}{\SQRT2}}^2 + \PS{\frac{1}{\SQRT2}}^2 = 1^2 $$ ということですね?」

「そうそう。この場合は二辺がたまたま$\cos\pi/4 = \sin\pi/4 = 1/\sqrt2$で等しいからくくって答えたんだ。くくらなくても正しいけど}

$$ \begin{align*} \cos\PS{\theta + \frac\pi4} &= \cos\theta\cos\frac\pi4 - \sin\theta\sin\frac\pi4 && \REMTEXT{加法定理から} \\ &= (\cos\theta)\frac1{\sqrt2} - (\sin\theta)\frac1{\sqrt2} && \REMTEXT{$\cos\pi/4 = \sin\pi/4 = 1/\sqrt2$から} \\ &= \frac1{\sqrt2}(\cos\theta - \sin\theta) && \REMTEXT{$1/\sqrt2$でくくった} \end{align*} $$

テトラ「先輩のおっしゃることはよくわかります。テトラもいちおうその計算はできるんですが、サッと出てきません。練習でしょうか?」

有名角と《お友達》になる

「そうだね。有名角の値や加法定理はよく練習して損はないよね。有名角の値はほんの数個だけだからすぐに覚えられるし、単位円を思い浮かべればすぐにチェックできる。 分数で混乱しないように注意しないといけないけど」

テトラ「有名角は$\pi/6, \pi/4, \pi/3$とか?」

「うん、それから$0, \pi/2, \pi$もいちおうね」

テトラ「なるほど」

「その他に$2\pi/3, 3\pi/2$も練習すると楽しいけど、それは暗記というよりも単位円を思い浮かべる練習になるかな」

テトラ「練習って暗記カードを作るんですか? 表に$\cos\pi/3$と書いてあって裏に$1/2$と書いてあるみたいな」

「それでもいいけど、録音してもいいよね」

テトラ「録音?」

「自分の声で$\cos\pi/3$と録音して、数秒あいだをあけて$1/2$と録音する」

テトラ「なるほどですっ! それを使ってトレーニングするんですか」

「ゲーム感覚だよね。あとは友達と問題を出し合うのも練習になるかな」

テトラ「問題を出し合うのは楽しそうですね。問題。$\cos\pi/2$イコール?」

「ゼロ。そうそう、そういう具合に問題を出すんだ」

$$ \cos\frac\pi2 = 0 $$

テトラ「はい」

「問題。$\sin\pi/2$イコール?」

テトラ「えとえと、点が上に来るから……えっと、1です!」

「はい、正解です」

$$ \sin\frac{\pi}{2} = 1 $$

テトラ「いきなり言われるとドキドキしちゃいますね。問題。$\cos2\pi/3$イコール?」

「$-1/2$だね」

$$ \cos\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2} $$

テトラ「先輩、速すぎですっ!」

「1の三乗根である$\omega,\omega^2$の実部だから、すぐに出るよ。複素数平面で、正三角形の頂点」

$x^3 = 1$の解

三次方程式$x^3 = 1$の解は、 $x = 1, \omega,\omega^2$になる。

テトラ「なるほど……先輩は有名角の値が《お友達》になっているんですね……」

「お友達?」

テトラ「そうです。友達の名字を言われるとあだ名や性格がパッと思いつくみたいに」

「そうかもしれないね。《お友達》か……」

加法定理と《お友達》になる

テトラ「有名角もそうですけれど、加法定理も練習する必要がありますよね」

「といっても、加法定理については二つをしっかり覚えておくと、あとは導けちゃうけど」

テトラ「《しっかり覚える加法定理》?」

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数学ガールの秘密ノート

結城浩

数学青春物語「数学ガール」の中高生たちが数学トークをする楽しい読み物です。中学生や高校生の数学を題材に、 数学のおもしろさと学ぶよろこびを味わいましょう。本シリーズはすでに14巻以上も書籍化されている大人気連載です。 (毎週金曜日更新)

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コメント

wed7931 「tanθ=xの関数」の右辺について、微分して増減表を書いて…と計算してみたけど、別のやり方はなんだろう?図を眺めてみる。 2ヶ月前 replyretweetfavorite

asangi_a4ac わからない人「どうやってθ=《xの関数》 という形にするんですか?」 ちょっとわかる人「arctanというものがあってだな」 完全に理解してる人「この問題に三角関数いらないから」 https://t.co/Wjl8Tuf4Ur 2ヶ月前 replyretweetfavorite

sima05020 https://t.co/ONSCr7clrt たのしい 2ヶ月前 replyretweetfavorite