第312回　ふれあう三角関数：タンジェント（後編）

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僕の部屋

ユーリ「ほらね！　ユーリは三角関数カンペキでしょ？　お兄ちゃんの出す問題なんか、全部わかっちゃうよ！」

僕「そりゃすごいな。でも確かにユーリは、$\tan$の定義もちゃんとわかっているし、 $\tan\KAKUDO{30}, \tan\KAKUDO{45}, \tan{\KAKUDO{60}}$の値も、きちんと考えているよね」

ユーリ「ふふん。単位円を描けばすぐわかるもん。三角関数カンペキさ！」

僕「じゃあ、ちょっと違うクイズを出してみようか」

ユーリ「どんとこい」

関数$\cos\theta$の定義域と値域

僕「ユーリは$\cos,\sin,\tan$を三角関数だって言ってたよね。関数というからには定義域は何だろう」

ユーリ「わかんない」

僕「がく」

ユーリ「あっ、ちがうちがう。答えがわかんないんじゃなくて、お兄ちゃんが何を言ってるかがわかんないの！」

僕「関数っていうのは、数を何か与えると、数が得られるものだよね。まあ、数じゃないこともあるけど」

ユーリ「えーと？」

僕「うん、じゃあ、たとえば、関数$\cos$で具体的に話そうか。角度$\theta$を$\cos$という関数に与えると、数$\theta$に対応して単位円上の点の$x$座標という数が得られるよね。 いま角度は《度》で考えているから、$\cos$に$60$を与えると、$0.5$が得られるという具合に」

ユーリ「それって、$\cos\theta$の定義の話、してる？」

僕「そうだよ」

ユーリ「$\cos$に$\KAKUDO{60}$を与えると$\frac12$だから$0.5$が得られるって？」

僕「そうそう、そういう話。そのとき、いま考えている関数$\cos\theta$では、$\theta$として与えることができるのは実数だよね」

ユーリ「そだね。数だから」

僕「数といってもいろいろある。たとえば$\theta$に虚数の$i$を与えることは、いまは考えていない。考えているのは実数だけ」

ユーリ「ほほー。虚数の角度？」

僕「$\theta$を虚数にするという話は、それはそれでおもしろい話につながるけど、いまは実数だけを考えている」

ユーリ「そんで？　お兄ちゃんは何が言いたいの？」

僕「関数を考えるときには《その関数に与えることができるのはどんな数なのか》をきちんと決めておく必要があるという話だよ。$\cos\theta$の$\theta$に対して$\KAKUDO{0}$を与えてもいいし、 $\KAKUDO{30}$を与えてもいいし、もっと大きな数やもっと小さな数を与えてもいい。 $\KAKUDO{100}$とか$\KAKUDO{360}$とかね」

ユーリ「$\KAKUDO{3000}$とか」

僕「そうだね。それからマイナスでもいい。$-\KAKUDO{60}$とかね」

ユーリ「いーよ」

僕「つまり、僕たちはいま$\cos\theta$という関数の定義域を、実数全体の集合だと考えているわけだ」

ユーリ「てーぎいき」

僕「そう。$\cos$という関数に与えることができる数全体の集合を、関数$\cos$の定義域という。いま僕たちは、関数$\cos\theta$の定義域を実数全体の集合だとして考えていることになる」

ユーリ「ねえ……お兄ちゃん。それって簡単な話をややこしく言ってる？」

僕「そうじゃないよ。簡単な話を正確に言ってるんだ」

ユーリ「はいはい」

僕「ユーリは《実数全体の集合》といわれて、ピンと来てるよね？」

ユーリ「だいじょーぶ。数直線でしょ？」

僕「うん、それでいいよ。数直線は実数全体の集合だと考えることができるし、 一つ一つの実数は数直線上の点として考えることができる。 実数全体の集合のことは$\REAL$と書くこともある」

ユーリ「はいはい。そんでそんで？」

僕「それが$\cos\theta$の定義域。それに対して、$\cos\theta$の値域というものもある」

ユーリ「ちいき」

僕「そう。関数$\cos\theta$がとる値全体の集合のことを$\cos\theta$の値域という。$\cos\theta$の値域って、具体的に何だかわかる？」

ユーリ「わかんない」

僕「がく。『そのスピードは考えていない証拠』ってミルカさんに言われたことなかったっけ？」

ユーリ「ぐぬぬ。ミルカさまを出してくるなー！」

僕「$\cos\theta$の値域って、具体的に何だかわかる？」

ユーリ「えーと？　……結局$\cos\theta$って、点の$x$座標だよね？」

僕「そうだね。$\cos\theta$の定義から、単位円の円周上にある点の$x$座標だといえる」

ユーリ「だったらカンタン！　ぐるっと回るから、$-1$から$1$までの範囲だ。　こーゆーこと！」

僕「そうだね。ユーリはちゃんとわかってる。関数$\cos\theta$の値域は《$-1$以上で$1$以下の実数全体の集合》になる。 関数$\cos$の値域は、数式を使ってこんなふうに書くこともできる」

$$ \SET{x \SETM -1 \LEQ x \LEQ 1 } $$

ユーリ「あ、そーゆーの見たことある。お兄ちゃん、よく書くよね」

僕「そうだね。$x \in \REAL$と書いて、実数であることをはっきりと書いてもいい」

$$ \SET{x \in \REAL \SETM -1 \LEQ x \LEQ 1 } $$

ユーリ「いろんな書き方あるんだね」

僕「関数を考えるときには、もう一つ、終域（しゅういき）という集合を考えることがあるけれど、それはまた今度話をしよう」

ユーリ「いま一瞬、テトラさんが見えたよ」

僕「それはさておき、定義域と値域のクイズを出そう。いいよね」

ユーリ「いいよん。理解したから大丈夫！」

関数$\sin\theta$の定義域と値域

僕「僕たちが考えている関数$\cos\theta$の定義域は《実数全体の集合$\REAL$》で、値域は《$-1$以上$1$以下の実数全体の集合》だったよね」

ユーリ「それ、さっきやった」

僕「それじゃ今度は、関数$\sin\theta$の定義域と値域は？」