第285回 音楽と数学:自由な平均律(前編)

《ピタゴラスコンマ》にたどりついたユーリ。「ここからいったいどーするの?」……あなたもいっしょに音階の秘密にチャレンジ!

登場人物紹介

:数学が好きな高校生。

ユーリのいとこの中学生。 のことを《お兄ちゃん》と呼ぶ。 論理的な話は好きだが飽きっぽい。

テトラちゃんの後輩。 好奇心旺盛で根気強い《元気少女》。言葉が大好きな高校生。

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双倉図書館にて

ユーリといっしょに、双倉図書館で開催されている《音楽と数学》というイベントに来ている。

《音は波》コーナー(第281回参照)から《ピタゴラスの響き》コーナーへ移って音を作ってきた(第283回参照)。

完全$5$度と完全$4$度を繰り返して音を作ってきたけれど、十三音目がちょうどオクターブにならないことに気付いたところ(第284回参照)。

そこにテトラちゃんも加わって……

ユーリ「……なーるほど。ユーリが見つけたパターンだとこーなるね!」

赤い実線矢印は完全$5$度を作り、青の点線矢印は完全$4$度を作る

「そうなる。そして問題は左下と右下の音$C$だよ。左下の赤い丸で囲んだのが最初の音$C$で、右下の青い星で囲んだのが十三音目の音$C$だ」

テトラ「その二つの音の周波数が等しくないということなんですね……」

ユーリ「うわー……」

テトラ「こちらにピタゴラスコンマの解説パネルがあります」

ピタゴラスコンマ

一音目の周波数と、十三音目の周波数の違いをピタゴラスコンマといいます。 周波数の比として表したピタゴラスコンマは、 $$ 3^{12}/2^{19} = 531441 / 524288 = 1.013643{}264770{}5078125 $$ という値になります。

ユーリ「ぴたごらすこんま! 名前があるんだ!」

「そうか、ここでいう《違い》は周波数の比になるわけか」

ユーリ「え?」

「日本語で《違い》というと、差を意味することもある。でもここでは比の意味」

ユーリ「よくわかんない」

「難しい話を言ってるわけじゃないよ。《最初の音の周波数》を$C_1$で表して、《十三音目の周波数》をたとえば$C_{13}$で表したとする。 ピタゴラスコンマは$3^{12}/2^{19}$だから、 $$ C_1 \times \underbrace{\dfrac{3^{12}}{2^{19}}}_{\text{ピタゴラスコンマ}} = C_{13} $$ になるって言っただけ。もしもピタゴラスコンマが$1$だったら《違い》はまったくなかったんだけどね。 $C_1 \times 1 = C_{13}$になってたわけだから。 でも、実際はピタゴラスコンマは、 $$ 1.013643{}26477{}05078125 $$ という値。$1$よりもちょっぴり大きい」

ユーリ「比の意味、わかった。いままでずっと周波数を$3$倍したり$1/2$にしてきたんだから、ぜーんぶ掛け算の話だもん。 それにしても、この《小さい違い》はどーすんの?」

テトラ「……それでいいんでしょうか」

ユーリ「テトラさん、それって?」

テトラ「あたしたちは計算の方法を知りましたよね」

ユーリ「?」

テトラ「計算の方法を知ったということは《小さい》ではなくて《どのくらい小さい》と言えるようになったはずだと思うんです。なので、ピタゴラスコンマはどのくらい小さいのかな……と」

ユーリ「あっ! 定量的な議論ってやつ?! (第282回参照)」

「なるほど……」

最初の音と、十三個目に作った音との《小さい違い》を定量的に考える……テトラちゃんが話しているのはそういうことなんだろう。

ユーリ「でも待ってよ、テトラさん。だって、もー、計算は終わってるじゃん?ピタゴラスコンマは、 $$ 3^{12}/2^{19} = 531441 / 524288 = 1.013643{}264770{}5078125 $$ だってわかっている。これって《てーりょーてき》じゃないの? 数が出てるもん」

テトラ「ええ、そうなんですけど、ではその$1.013643{}264770{}5078125$はどのくらいの小ささなのか……と思ったんです」

ユーリ「ほんとーは$1$になってほしーけど、$1.013643{}264770{}5078125$ になった。 てことは、 $$ 1.013643{}264770{}5078125 - 1 = 0.013643{}264770{}5078125 $$ がズレなんじゃないの?」

テトラ「それは引き算でいいんでしょうか? もともとピタゴラスコンマ自体がズレを表しているんですよね」

ユーリ「えーと……そっか、$1$を$1.013643{}264770{}5078125$から引き算するのは変?」

「うーん……引き算することは変じゃないよ。たとえば実数$x$を$a$倍することと、$b$倍することを比較したいとき、$b - a$に意味はあるかという話だよね。 $x$を$b - a$倍した値$(b - a)x$は、《$ax$に何を加えれば$bx$が得られるか》に答える量になる」

ユーリ「なんですと?」

「簡単な話だよ。$$ ax + (b - a)x = bx $$ だから、$ax$に$(b - a)x$を加えれば$bx$が得られる」

ユーリ「そゆことか」

「たとえば、$a = 1, b = 1.013643{}264770{}5078125$で、$x$は最初の音の周波数と考えれば、ユーリの引き算は$b - a$に相当するといえる」

テトラ「あ、あたしも混乱してきました。ピタゴラスコンマ自体がズレを表していますよね?」

「ズレを表すというと混乱するかもね。ピタゴラスコンマは《最初の音の周波数$x$に何を掛ければ十三音目の周波数が得られるか》に答える量といえる。 数や量を得たときには、それが何なのかをよく理解しているのが大事だと思うよ」

テトラ「ああ……そうですね」

「特に《加える》のか《掛ける》のかの違いは大きい……そうか。これは対数が出てくる場面だなあ」

ユーリ「たいすう?」

「そうだよ。積がたくさん登場したり、比を考えたりする場面では対数が顔を出すことが多い」

ユーリ「なんで? てか、対数って何だっけ」

対数の基本

「たとえば$10^3 = 1000$という式が成り立つ。《$10$の$3$乗は$1000$に等しい》という」

$$ 10^3 = 1000 $$

ユーリ「うん」

「これと同じことを対数を使って《$10$を底(てい)とする$1000$の対数は$3$に等しい》という。そして$\log$(ログ)という記号を使ってこう書く」

$$ \log_{10} 1000 = 3 $$

ユーリ「ろぐ」

「$1000$から$3$を得る計算を《$10$を底として$1000$の対数を取る》ということもある」

ユーリ「ゼロの数だ」

「そうだね。$10$を底にした場合には、$10^n$の$n$はゼロの個数になるからね。底は$10$とは限らないし、$10$の冪乗以外の対数も取るからいつもゼロの個数とはいえないけど。 一般には、対数はこんなふうにいう」

対数の定義

$A$と$B$を正の実数とし、$B$は$1$ではないとする($A > 0, B > 0, B \NEQ 1$)。

$L$を実数とする。

いま《$B$を$L$乗すると$A$に等しい》とする。すなわち、 $$ B^L = A $$ が成り立つとする。

このときの$L$を《$B$を底とする$A$の対数》と呼び、 $$ \log_{B} A $$ と表す。

$$ B^L = A \quad\Longleftrightarrow\quad \log_{B} A = L $$

ユーリ「そんで、音階でなぜに対数の話になったの?」

「対数は、積を和に変換するから」

ユーリ「ワニ変換!?」

「そんなに驚かなくてもいいよ。《対数は、積を和に変換する》性質がある。簡単な例だと、 $$ 100 \times 1000 = 100000 $$ になるけど、これは、 $$ 10^2 \times 10^3 = 10^{2 + 3} $$ ということだね。掛け算をするんだけど、指数に注目すると足し算になってる」

ユーリ「掛け算すると、ゼロの個数は足し算になってる」

「そういうこと。いまはわかりやすいように$10$の冪乗を出したけど、一般に、$$ 10^{a} \times 10^{b} = 10^{a + b} $$ ということ。これは指数法則と呼ばれるものの一つ」

ユーリ「しすーほーそく」

「この式の意味は《$10^{a} \times 10^{b}$は、$10$の$a + b$乗に等しい》ということ」

ユーリ「$10^{a} \times 10^{b} = 10^{a + b}$だから」

「同じことだけど《$10$を$a + b$乗したら、$10^{a} \times 10^{b}$に等しい》ともいえる」

ユーリ「そりゃそーだ」

「いまいったことを対数で書けば、$$ \log_{10}{10^{a} \times 10^{b}} = a + b $$ となる」

ユーリ「えーと? $10$を、$a + b$乗したら、$10^{a} \times 10^{b}$に等しい……ほんとだ」

「だから、積を和に変換したいときには対数がよく出てくる。指数の部分をメインで扱いたいときにも対数を使う。 僕は《上に乗っている指数を下に落とす》みたいな感覚で式変形しているなあ」

$$ \log_{B} a^b = b \log_{B} a $$

テトラ「あああああっ! そういうことなんですねっ!」

「どうしたの、テトラちゃん急に」

テトラ「さっきあっちで見たパネルの意味がわかったからですっ! セントという単位が出てきます」

セント

セント

セントは周波数の違いを表す単位です。

周波数$x$Hzと$y$Hzの違いを$n$セントとすると、$n$は、 $$ n = 1200 \times \log_2\left(y/x\right) $$ で得られます。

「なるほどね。《音は波》で、音の高さの違いは周波数の違い。音の高さの違いを調べるときには、$2$倍とか$3$倍とか$1/2$倍といった積に注目する。 だから、周波数$x$Hzと$y$Hzの違いとして$y/x$を調べたくなるのはわかる」

ユーリ「それじゃだめなの?割り算すればいいんでしょ?」

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数学ガールの秘密ノート

結城浩

数学青春物語「数学ガール」の中高生たちが数学トークをする楽しい読み物です。中学生や高校生の数学を題材に、 数学のおもしろさと学ぶよろこびを味わいましょう。本シリーズはすでに12巻も書籍化されている大人気連載です。 (毎週金曜日更新)

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hyuki Web連載「数学ガールの秘密ノート」第286回の配信予約ができました。図版は結局5個作りました。今回もたいへん楽しくなりました。第286回は金曜日朝の7時に更新されます。それまでは無料の第285回をお楽しみください。 https://t.co/H4Squtw7gM 25日前 replyretweetfavorite

chibio6 等比数列の項を対数でとると等差数列になることを意識したことがなかったのは損をしていた気分… https://t.co/zEl8PjxPzc 26日前 replyretweetfavorite

tone2m 演奏してて「その音10セント高いよ!」とか言われるときの セント が何なのか、数学方面からの解説。 約1ヶ月前 replyretweetfavorite

Lsdu2DalePerry いよいよ対数の出番がやってきた。2倍を何度もしたり(2の冪乗)3倍を何度もしたり(3の冪乗)。 約1ヶ月前 replyretweetfavorite