第284回 音楽と数学:ピタゴラスの響き(後編)

ユーリと「僕」が《ピタゴラス音階》を調べています。五音を過ぎてどんどん進むのですが……あなたもいっしょに音階の秘密にチャレンジ!

【休載の予告】

結城浩です。いつもご愛読ありがとうございます。

体調不良のため、2020年2月21日(金)の更新をお休みいたします。

申し訳ありません。

書籍紹介

『数学ガールの秘密ノート/積分を見つめて』

中学生・高校生向けのやさしい数学を楽しい会話で学ぶシリーズです。

本書のテーマは《積分》。

数学や科学の世界で積分が使われるのはもちろんですが、 私たちの日常生活でも「刻々と変化する量の合計を考える」というのは極めて基本的なアイディアでしょう。

微分と積分は、三角関数に並んで数学の苦手意識を刺激するキーワードですが、 その本質は決して難しくありません。

本書では、速度と距離という日常的な例から始めて積分をじっくり味わっていきます。

数学ガールたちといっしょに学びましょう!

いますぐWebで立ち読みできます!(無料)

登場人物紹介

:数学が好きな高校生。

ユーリのいとこの中学生。 のことを《お兄ちゃん》と呼ぶ。 論理的な話は好きだが飽きっぽい。

$ \newcommand{\LEQ}{\leqq} \newcommand{\COMMA}{,\,} $

《ピタゴラスの響き》

ユーリといっしょに、双倉図書館で開催されている《音楽と数学》というイベントに来ている(第283回参照)。

いまは《ピタゴラスの響き》コーナーで《ピタゴラス音階》を調べているところ。

音$C$から始めて、周波数を変えて音を作っていくのだが……

五個目の音$E$

音$A$の周波数を$3/2$倍してできる音の周波数は、 音$C$の周波数を何倍すればいいでしょうか(第283回参照)。 その答えは、 $$ 27/16 \times 3/2 = 3^4/2^5 = 81/32 = 2.53125 $$ という計算で得られますが、$81/32 > 2$なので、$1$オクターブ下げるためにさらに$2$で割ります。

音$C$の周波数を$81/64$倍した新しい音ができました。

$$ 81/64 = 1.265625 $$

新しくできた音を$E$と呼びます。

$C$と$G$の組、$G$と$D$の組、$D$と$A$の組、$A$と$E$の組は協和します。

私たちはこれで、$C$と$D$と$E$と$G$と$A$の五音を手に入れました。

六個目の音$B$

ユーリ「五個の音だけでも、曲って作れるんだね(第283回参照)」

「そうだね。ここまでで$3/2$倍を繰り返して五音が出来たから、同じことを続けていくんだろうけど……ユーリはそろそろ飽きてきたかな?」

ユーリ「やだなーおにいちゃんたらユーリはそんなにあきっぽくないしー」

「棒読みやめい……これが六個目の音だね」

ユーリは掲げられたパネルを見上げる。

六個目の音$B$

音$E$の周波数を$3/2$倍してできる音の周波数は、 音$C$の周波数を何倍すればいいでしょうか。 その答えは、 $$ 81/64 \times 3/2 = 3^5/2^7 = 243/128 = 1.8984375 $$ という計算で得られます。

$243/128 = 1.8984375 < 2$なので、初めの$C$音から$1$オクターブの範囲に入っています。 ですからさらに$2$で割る必要はありません。

音$C$の周波数を$243/128$倍した新しい音ができました。

新しくできた音を$B$と呼びます。

$C$と$G$の組、$G$と$D$の組、$D$と$A$の組、$A$と$E$の組、$E$と$B$の組は協和します。

私たちはこれで、$C$と$D$と$E$と$G$と$A$と$B$の六音を手に入れました。

ユーリ「飽きてこないけど、パターン見えてくるよね」

「パターンとは」

ユーリ「$3/2$倍して、$2$より大きくなったら$2$で割る。その繰り返し。パターンじゃん?」

「そうだね。規則的に繰り返して音を作っていく。《ピタゴラス音階》を作っていく」

ユーリ「次のパネルはこれ?」

七個目の音$F\#$

七個目の音$F\#$

音$B$の周波数を$3/2$倍してできる音の周波数は、 音$C$の周波数を何倍すればいいでしょうか。 その答えは、 $$ 243/128 \times 3/2 = 3^6/2^8 = 729/256 = 2.84765625 $$ という計算で得られます。

$729/256 = 2.84765625 > 2$なので、初めの$C$音から$1$オクターブ上より高い音になります。 ですからさらに$2$で割ります。

$$ 729/256 \times 1/2 = 3^6/2^9 = 729/512 = 1.423828125 $$

音$C$の周波数を$729/512$倍した新しい音ができました。

新しくできた音を$F\#$(エフシャープ)と呼びます。

$C$と$G$の組、$G$と$D$の組、$D$と$A$の組、$A$と$E$の組、$E$と$B$の組、$B$と$F\#$の組は協和します。

私たちはこれで、$C$と$D$と$E$と$F\#$と$G$と$A$と$B$の七音を手に入れました。

「これで七音」

ユーリ「ねーねー、ユーリ発見したかも。パターン!」

「お?」

ユーリ「パネルにしつこく『私たちはこれで……を手に入れました』って書いてあるじゃん? 作った順番が綺麗なパターンになってるよ!」

「どんなパターンだろう」

ユーリ「こんなの! 見て見て!」

作られていく音の順番(ユーリの視点)

ユーリ「ね? ね? 下から順番に作られるんじゃなくて、上がって下がるのを繰り返すんだよ。何てゆーの……ぐるぐる?」

「ああ、ほんとだね。こんな風に行ったり来たりにも見える。ええと、それはなぜかというと……」

作られていく音の順番(僕の視点)

ユーリ「次のパネル行こ! いよいよ八音目、到着だね!」

「おおい!」

八個目の音$C\#$

八個目の音$C\#$

音$F\#$の周波数を$3/2$倍してできる音の周波数は、 音$C$の周波数を何倍すればいいでしょうか。 その答えは、 $$ 729/256 \times 3/2 = 3^7/2^{10} = 2187/1024 = 2.1357421875 $$ という計算で得られます。

$2187/1024 = 2.1357421875 > 2$なので、初めの$C$音から$1$オクターブ上より高い音になります。 ですからさらに$2$で割ります。

$$ 2087/1024 \times 1/2 = 3^7/2^{11} = 2187/2048 = 1.06787109375 $$

音$C$の周波数を$2187/2048$倍した新しい音ができました。

新しくできた音を$C\#$と呼びます。

$C$と$G$の組、$G$と$D$の組、$D$と$A$の組、$A$と$E$の組、$E$と$B$の組、$B$と$F\#$の組、$F\#$と$C\#$の組は協和します。

私たちはこれで、$C$と$C\#$と$D$と$E$と$F\#$と$G$と$A$と$B$の八音を手に入れました。

ユーリ「ありり?」

ユーリは、けげんな顔をして指を折り始めた。

「どんどん次のパネルに行くんじゃないの?」

ユーリ「これおかしくない? $1$オクターブって$8$音だよね? ド・レ・ミ・ファ・ソ・ラ・シ・ド……ほら$8$音」

「そうだね。オクターブの名前の通り」

ユーリ「名前の通りって?」

テトラ「オクターブ(octave)の "oct-" というのは$8$を意味するからですよね、先輩!」

「うわびっくりした!」

ユーリ「テトラさん!」

登場人物紹介(追加)

テトラちゃんの後輩。 好奇心旺盛で根気強い《元気少女》。言葉が大好き。

「まるでミルカさんみたいに突然登場したね!」

テトラ「違いますよう! さっき二人を見つけて追いかけていたんですけど、急に走り出したりするので、なかなか追いつけなかっただけです。 人がいっぱいで……ところで、オクターブがどうしたんですか?」

ユーリ「あのね、$1$オクターブって$8$音だから、八個目の音を作ったら$1$オクターブの音がぜんぶできると思ったの。でも、$C\#$になっちゃった」

「ああ、それで数を数えてたんだ……テトラちゃんはもう《ピタゴラス音階》のパネルはぜんぶ見たの?」

テトラ「あっ、はい。そうです。なのでネタバレにならないように黙っていますねっ!」

テトラちゃんはそう言って『口にチャック』のジェスチャをする。

ユーリ「テトラさん黙っちゃった……えーっと、八個目で$C$にならないってことは、もっと進まないと$1$オクターブ上には行けないんだね。$8$音よりも多くなるんだ」

「$F\#$や$C\#$も出てきたからね……ああ、そうだよ。だって、ピアノの鍵盤を見ればわかる。$1$オクターブにあるキーは、$8$個じゃなくて$12$個だ。黒鍵があるから」

ユーリ「あー、そだね。そんじゃ、$3/2$倍を$12$回繰り返せばいーんだ!」

テトラ「あっ、それはっ……(チャック)」

「うん? いや、おかしいよ、ユーリ。それは違うはずだ」

ユーリ「なんで? あーそっか。《$3/2$倍を繰り返す》んじゃなくて《$3/2$倍して、オクターブ越えるときにはさらに$1/2$倍する》のを$12$回繰り返すんだね! そーすれば、$1$オクターブ上の音までたどり着いて《ピタゴラス音階》が完成! キーボードの$12$音も完成!」

「いや、そうはならないよ。$12$回繰り返しても$1$オクターブ上には絶対行けないはずだ」

ユーリ「は? なに言ってるデスカ?」

存在しない音

「《ピタゴラス音階》を作る方法としてここまで使ってきたのは、最初の音$C$を決めること、周波数を$3/2$倍すること、 それから場合によって周波数をさらに$1/2$倍することだけだった」

ユーリ「うん」

「$1/2$倍するのが場合によって変わるから複雑に見えるけど、最初の音を決めた後にできることは《周波数を$3^m/2^n$倍していくこと》だよね。 $m$と$n$は$1$以上の整数で、しかも$m \LEQ n$だった。$m$と$n$は場合による」

テトラ「ですねっ!」

ユーリ「《周波数を$3^m/2^n$倍していくこと》……そだね。それで?」

「でもね、$$ 3^m/2^n = 2 $$ を満たす$m,n$の組は存在しないんだよ! 絶対に$3^m/2^n = 2$になることはない。 だから、僕たちがやってきた新しい音を作る方法を$12$回繰り返しても、周波数は$2$倍にならないんだ」

ユーリ「あ……」

「$12$回どころじゃない。何百回、何千回繰り返したとしても、周波数は$2$倍にならない。周波数を$3^m/2^n$倍して作れる音は無数にあるけれど、 その中に最初の音の$2$倍の周波数を持つ音は存在しない」

ユーリ「えーと、ちょっと待って。『$3^m/2^n = 2$を満たす$m$と$n$はない』ってホント?」

「ほんとうだね。なぜなら、$3^m/2^n = 2$は、$$ 3^m = 2^{n+1} $$ と書けるけど、ここで$m$と$n$が$1$以上の整数なら、左辺は奇数で右辺は偶数になる。奇数と偶数は等しくならない」

テトラ「$1$オクターブ上の音はできませんし、同じことですけど最初の音に戻ってくることもありませんね」

「うん、うん、そうなる。だって、周波数を$3^m/2^n$倍して最初の音に戻るってことは、最初の音の$1$倍の周波数になるということだから、$$ 3^m/2^n = 1 $$ だ。つまり、 $$ 3^m = 2^n $$ が成り立つような$m$と$n$の組が必要。でも、そんな組はない」

ユーリ「わかったけど、わかったけど……だったらどーなんの? 《ピタゴラス音階》は音階になんないじゃん。どーするピタゴラス?」

「いや、音階にならないわけじゃないよ。《周波数を$3^m/2^n$倍する方法》ではオクターブは作れないだけだから。 作ることができた音を使えばいい」

ユーリ「うー……それでいーの? お兄ちゃん、パネル飛ばして十二個目の音を見に行こーよ! そこでは何が起きてんの?!」

見に行こうよ、と言ったときにはすでにユーリは早足で先に進んでいた。 テトラちゃんは彼女を追うようにして十二個目の音を作るパネルに進む。

十二個目の音$F$

十二個目の音$F$

音$A\#$の周波数を$3/2$倍してできる音の周波数は、 音$C$の周波数を何倍すればいいでしょうか。 その答えは、 $$ 59049/32768 \times 3/2 = 3^{11}/2^{16} = 177147 / 65536 = 2.7030{}487060{}546875 $$ という計算で得られます。

$177147/65536 > 2$なので、初めの$C$音から$1$オクターブ上より高い音になります。 ですからさらに$2$で割ります。

$$ 3^{11}/2^{17} = 177147 / 131072 = 1.35152{}43530{}2734375 $$

音$C$の周波数を$177147/ 131072$倍した新しい音ができました。

新しくできた音を$F$と呼びます。

$C$と$G$の組、 $G$と$D$の組、 $D$と$A$の組、 $A$と$E$の組、 $E$と$B$の組、 $B$と$F\#$の組、 $F\#$と$C\#$の組、 $C\#$と$G\#$の組、 $G\#$と$D\#$の組、 $D\#$と$A\#$の組、 $A\#$と$F$の組は協和します。

私たちはこれで、 $C$と$C\#$と$D$と$D\#$と$E$と$F$と$F\#$と$G$と$G\#$と$A$と$A\#$と$B$の十二音を手に入れました。

ユーリ「うわ、一気に増えてる」

「途中を飛ばしてきたからだよ」

ユーリ「あ、十二音目まではうまくいくんだ。問題は次の音なんだね」

「というか、次の音を作るステップというのは、必ずうまくいくはずだよ。最後に作った音と協和するように次の音を作ってきたんだから。 完全$5$度だっけ」

テトラ「完全$5$度と完全$4$度ですね」

ユーリ「うーわかんなくなってきた。早く、十三音目に行こうよ! いったい、何が起きるの?!」

十三個目の問題

十三個目の問題

私たちは十二個の音を手に入れました。同じ方法で十三個目の音を作りましょう。

音$F$の周波数を$3/2$倍してできる音の周波数は、 音$C$の周波数を何倍すればいいでしょうか。 その答えは、 $$ 177147 / 131072 \times 3/2 = 3^{12}/2^{18} = 531441 / 262144 = 2.027286{}529541{}015625 $$

$531441 / 262144 > 2$なので、初めの$C$音から$1$オクターブ上より高い音になります。 ですからさらに$2$で割ります。

$$ 3^{12}/2^{19} = 531441 / 524288 = 1.0136432{}647705{}078125 $$

音$C$の周波数を$531441/524288$倍した新しい音ができ……

「……」

テトラ「……」

ユーリ「……」

「なるほど。まったく同じ方法で十三個目の音を作ろうとすると、$$ 3^{12}/2^{19} = 531441 / 524288 = 1.01364326{}47705{}078125 $$ になる。 $$ 1 < 3^{12}/2^{19} < 2 $$ だから、音$C$より高いけれど、$1$オクターブ高くはない。 音$C$の周波数の$1$倍なら同じ音になるんだけど、$1.0136\cdots$倍か……」

テトラ「きれいに協和する完全$5$度と完全$4$度を作る操作を$12$回繰り返すと、何となくきちんと最初の音に戻ってきそうですが、ちょっと高くなっちゃうんですね」

ユーリ「なんでバシッとキマらないかなー! すごく惜しーなー!」

「惜しいといっても、計算してそういうずれが出てしまうんだからしょうがないね。最初の音に戻るとか、ちょうど$1$オクターブ上の音になるというのは勝手な思い込みということか」

ユーリ「でもさー、きっちりしたオクターブが作れないってことは、協和しなくなるってことじゃん!」

「ああ……確かにそうなるね。完全$5$度と完全$4$度の音程差がある音を順次作っていった結果、完全$8$度が作れなくなったわけか」

テトラ「先輩、先輩。こちらに《ピタゴラス音階》を作っていく表があります」

「ああ、なるほど。最初からこの表を見にくればよかったなあ」

ユーリ「この表は何なの?」

「下が低い音、上が高い音で、半音ずつ上がっている。左から右に見ていくと、どういう順番で音を作って来たかがよくわかる。矢印を描いてみよう。 周波数を$3/2$倍すると赤い実線の矢印で音が高くなる。 でも音がオクターブを越えて高くなったら$1/2$倍するのが青の点線矢印」

$3/2$倍するのが赤い実線矢印で、$1/2$倍するのが青の点線矢印

ユーリ「なーるほど。ユーリが見つけたパターンだとこーなるね!」

赤い実線矢印は完全$5$度を作り、青の点線矢印は完全$4$度を作る

「そうなる。そして問題は左下と右下の音$C$だよ。左下の赤い丸で囲んだのが最初の音$C$で、右下の青い星で囲んだのが十三音目の音$C$だ」

テトラ「その二つの音の周波数が等しくないということなんですね……」

ユーリ「うわー……」

テトラ「こちらにピタゴラスコンマの解説パネルがあります」

ピタゴラスコンマ

一音目の周波数と、十三音目の周波数の違いをピタゴラスコンマといいます。 周波数の比として表したピタゴラスコンマは、 $$ 3^{12}/2^{19} = 531441 / 524288 = 1.013643{}264770{}5078125 $$ という値になります。

ユーリ「ぴたごらすこんま! 名前があるんだ!」

「そうか、ここでいう《違い》は周波数の比になるわけか」

ユーリ「え?」

「日本語で《違い》というと、差を意味することもある。でもここでは比の意味」

ユーリ「よくわかんない」

「難しい話を言ってるわけじゃないよ。《最初の音の周波数》を$C_1$で表して、《十三音目の周波数》をたとえば$C_{13}$で表したとする。 ピタゴラスコンマは$3^{12}/2^{19}$だから、 $$ C_1 \times \underbrace{\dfrac{3^{12}}{2^{19}}}_{\text{ピタゴラスコンマ}} = C_{13} $$ になるって言っただけ。もしもピタゴラスコンマが$1$だったら《違い》はまったくなかったんだけどね。 $C_1 \times 1 = C_{13}$になってたわけだから。 でも、実際はピタゴラスコンマは、 $$ 1.013643{}26477{}05078125 $$ という値。$1$よりもちょっぴり大きい」

ユーリ「比の意味、わかった。いままでずっと周波数を$3$倍したり$1/2$にしてきたんだから、ぜーんぶ掛け算の話だもん。 それにしても、この《小さい違い》はどーすんの?」

テトラ「……それでいいんでしょうか」

ユーリ「テトラさん、それって?」

テトラ「あたしたちは計算の方法を知りましたよね」

ユーリ「?」

テトラ「計算の方法を知ったということは《小さい》ではなくて《どのくらい小さい》と言えるようになったはずだと思うんです。なので、ピタゴラスコンマはどのくらい小さいのかな……と」

ユーリ「あっ! 定量的な議論ってやつ?! (第282回参照)」

「なるほど……」

(第284回終わり。第285回へ続く)

やさしい数学を楽しく学ぶ「数学ガールの秘密ノート」はここから!

ケイクス

この連載について

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数学ガールの秘密ノート

結城浩

数学青春物語「数学ガール」の中高生たちが数学トークをする楽しい読み物です。中学生や高校生の数学を題材に、 数学のおもしろさと学ぶよろこびを味わいましょう。本シリーズはすでに12巻も書籍化されている大人気連載です。 (毎週金曜日更新)

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コメント

tinouye 音律についての後編も来た! 「 5日前 replyretweetfavorite

inaba_darkfox 周波数が整数比だと綺麗に聴こえるのやっぱり不思議だなって思った。 5日前 replyretweetfavorite

t_motooka 続編きてた。完全五度を重ねていって(必要ならオクターブ下げて)一周すると元通り…ではない!というのは楽しいところですよねー。カレンダーみたい(地球の公転周期と自転周期と…みたいな) https://t.co/95J85Ii2yo 5日前 replyretweetfavorite

Iutach なるほど。オクターブに12音入れるのは、3¹²/2¹⁹が1に近かったからなのか。もし… https://t.co/bOjbz0omQp 5日前 replyretweetfavorite