第142回　波を作る（後編）

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僕の部屋

僕「じゃあ、ここでユーリに問題を出すよ」

ユーリ「どんとこい」

僕「この波の速度を$v$（ヴィ）としたとき、《速度$v$》を《波長$\lambda$（ラムダ）》と《周期$T$》で表せ。これが問題」

ユーリ「むむむ？　波の速度？」

僕「さあどうかな」

ユーリ「……これって、わかるの？」

僕「わかるよ。波長$\lambda$と周期$T$がわかっていれば、波の速度$v$を求めることができる。もう少しいえば、 $\lambda$と$T$を使った式で、$v$を書き表すことができるんだよ」

ユーリ「速度……えーと」

僕「そんなに難しくないと思ったんだけど」

ユーリ「うーん……よくわかんなくなった。波長って波の$1$個分の長さで、周期は波が一回波打つのに掛かる時間だよね。 ほんとにその二つで表せるの？」

僕「表せるよ。……もしかしたら、ユーリは《波が動いていくようす》を頭の中で想像できていないんじゃない？　さっきのこの図を思い出せばわかると思うんだけど。 ほら、波の山がずっと動いていく様子」

ユーリ「想像できてるよ！　でも、波を考えてると、わかんなくなっちゃうの！」

僕「速度は《位置の変化》を《時刻の変化》で割れば求められるよね。《位置の変化》はどのくらい動いたかで、 《時刻の変化》はその動きにどれだけ時間が掛かったか」

ユーリ「そーだけど」

僕「たとえば、この波の《山》が、波長$1$個分だけ動いたとしよう。つまり《位置の変化》が$\lambda$だということ」

ユーリ「……うん」

僕「そのときの《時刻の変化》は？　つまり、《山》が$\lambda$だけ動くのに掛かった時間はどれだけ？」

ユーリ「……もしかして、周期？　だから、掛かった時間は$T$？」

僕「そうだよ！　なんだ、わかっているじゃないか。《山》の位置が$\lambda$だけ動くとき、掛かる時間は$T$になる。 《山》の速度はもちろん波の速度に等しいから、 $$ v = \dfrac{\lambda}{T} $$ ということになる」

ユーリ「そっか……それでいーのか……」

僕「$\lambda$は長さだから、単位はmやcmなどになる。$T$は時間だから、単位は秒や分などになる。 $\dfrac{\lambda}{T}$の単位は「長さを時間で割ったもの」だから、 確かに速度の単位になってる。 物理量を考えるときには、次元も確かめておかないとね」

ユーリ「……」

僕「なに？」

ユーリ「さっきの、まだ考えてたの。どーして波の速度が$\dfrac{\lambda}{T}$なんだろって」

僕「お？」

ユーリ「あのね、《長さを時間で割ればいい》っていうのはわかってたよ、ユーリも。波長は長さだし、周期は時間だから、きっと波長を周期で割ればよさそーだな、とも思ったの。 でも、うそっぽくて」

僕「うそっぽいとは」

ユーリ「だって、リクツがわかってないもん！ 長さになってるものがありますー、時間になっているものもありますー、 だったらきっと、これをこれで割れば速度ですねー……そんなの、 うそっぽいじゃん！」

僕「なるほど。ユーリはバシッと理解したいってことなんだね。ちゃんと納得して。ところで、もう理解できたのかな」

ユーリ「少しは。あのね。ユーリは《波の速度》と《水の速度》がまざってたみたい」

僕「へえ」

ユーリ「波のようすを想像するじゃん？　そのときに、さっきお兄ちゃんが描いてくれたように、《山》が動くようすを想像してなかったの。 そうじゃなくて、水が上下に振動しているのを想像してた」

僕「ああ……なるほどね。その上下の動きの速度について考えちゃったわけか」

ユーリ「たぶん。だからね、波長と周期だけじゃわかんなくて、波の高さ？大きさ？みたいなのを考えないと、速度は求められないって思ったの」

僕「なるほど！　ユーリの考えていたことはよくわかった。高い波を作っている水がすごいスピードで落ちてくるのと、 低い波を作っている水がゆっくり落ちてくるのとじゃ速度が違う……って考えちゃったんだね」

ユーリ「そーみたい」

僕「うん、いま僕たちがいっしょに考えようとしてたのは、水が動く速度じゃないからね。 媒質の動く速度じゃなくて、波という現象の速度の方を考えていたんだ。 《波の速度》というのは、つまり《振動が伝わっていく速度》ということになるよね」

ユーリ「うん！　もう納得したからまちがわないよ！」

僕「それにしても、《自分がどういうふうに誤解したか》を説明するというのは、すごく高度な技だと思うよ。ユーリ」

ユーリ「そーかにゃ？　照れるじゃん！」

周期

僕「波は、位置と時刻が絡んでくるから、難しいんだよ」

ユーリ「もうユーリは理解したから、難しくないよ」

僕「そのまっすぐな自信はどこから来るんだろう。すごいな」

ユーリ「試しに問題出してみてよ」

僕「じゃあね、こんな問題はどうだろう」

ユーリ「えっと……なーんだ、カンタンじゃん！」

僕「おっと、早いな。もうわかったの？」

ユーリ「周期$T$ってゆーのは、波の$1$個分に掛かる時間なんだから、$T$だけ時間が過ぎたら、もとに戻るんでしょ？　だったら、 これは$\dfrac{T}{4}$ずつ時刻が進んでるってことじゃん！」

僕「ほほう」

ユーリ「だから、(2)は$t = \dfrac{T}{4}$で、 (3)は$t = \dfrac{T}{2}$で、 (4)は$t = \dfrac{3T}{4}$でしょ？」

僕「すごいすごい！　大正解だよ！」

ユーリ「ふふん」

僕「だから、《位置と水位のグラフ》を見れば、 そこに歴史が刻まれていることがわかるんだよ」

ユーリ「え、お兄ちゃん、いま何て言った？（にやにや）」

僕「いや、ちょっと……茶化すなよ。つまりね、《位置と水位のグラフ》というのは、 位置$x$に対する水位$y$を表しているよね。 そして、位置$x$での水位$y$っていうのは、 過去からの波がやってきたことで、その水位が決まったわけだ」

ユーリ「まーね」

僕「だから、《位置と水位のグラフ》で波が右方向に進んでいるとしたら、右に行けば行くほど、過去の水位がそこに反映しているし、 左に行けば行くほど、未来の水位がどうなるかわかることになる」

ユーリ「何言ってるかわかんない」

僕「つまり、こういうことだよ。《位置と水位のグラフ》で波長$\lambda$だけ左右を見ると、 それは周期$T$だけ未来や過去を見ているということ」

ユーリ「あたりまえじゃん！　それが波長と周期ってことだし」

僕「うう……あたりまえか……理解したユーリ最強だな」

ユーリ「ふふん」

波を数式で表そう

僕「ところでこれから考えたいのは《波を数式で表す》ことだよ」

ユーリ「出たな数式マニア。さっき$\dfrac{\lambda}{T}$で表したばっかりじゃん」

僕「それは、波の速度$v$を波長$\lambda$と周期$T$で表しただけだろ。そうじゃなくて、波の全体を数式で表したい。 具体的にやりたいことは、位置$x$と時刻$t$を与えると水位$y$がわかるような数式を作りたいんだ」

ユーリ「ふーん……位置と時刻から水位？」

僕「そうだね。ただし、いろいろ決めないと数式は作れない。たとえば《波長を$\lambda$とする》とか《周期を$T$とする》とか。 他には何を決める必要があるだろう」

ユーリ「速度？」

僕「いや、速度は波長と周期から決まるから、わざわざ決めなくてもいい。 あとは《波の高さ》かな。大きな波と小さな波は違うから。 たとえば《波の高さを$A$で表す》としよう」

ユーリ「……」

僕「そして、大前提として《波の形はサインカーブ》ということにしよう。とても基本的な波の形として、サインカーブを使う」

僕「ユーリは$\cos$と$\sin$は覚えている？」

ユーリ「何となく。コサインとサイン。あのほら、円の$x$と$y$」

僕「そうだね。半径が$1$の円のことを単位円といって、その円周上の点$P$を考える。点$P$と中心を結んだ半径が、 $x$軸の正方向となす角度を$\theta$としたとき、 点$P$の$x$座標が$\cos \theta$で、$y$座標が$\sin \theta$になる」

ユーリ「サインカーブ、思い出してきた」

僕「うん。横軸を$\theta$としたとき、$y = \sin \theta$のグラフはこうなるね」

ユーリ「そっか、波なんだ……」

僕「波だね。このグラフは$y = \sin \theta$という数式で表されている。つまり、角度$\theta$を与えると、$y$が決まるわけだ。$\sin$という関数でね」

ユーリ「そだね」

僕「これから、$y = \sin \theta$のグラフを、僕たちが作りたい形に変形させていくよ」

ユーリ「グラフを変形させる？」

僕「そう。このサインカーブのグラフを変形させていく。具体的には$y = \sin \theta$という数式を少しずつ変えていく。 そして僕たちのゴールは、 波長が$\lambda$で、周期が$T$で、 高さが$A$であるような波の数式を手に入れること！」

ユーリ「盛り上がっているトコ悪いんだけど、それってめちゃめちゃ難しー話じゃないの？」

僕「そんなことないよ」